METODE GAUSS UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN LINIER
KARYA
ILMIAH
METODE
GAUSS UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN LINIER
Oleh :
Nur
Makiyah NIM :1331081
Maulidiyah Dwi A . NIM : 1331056
Maulidiyah Dwi A . NIM : 1331056
STKIP PGRI SIDOARJO
MATEMATIKA 2013A PAGI
TAHUN
AJARAN 2013 – 2014
Abstrak
Penelitian
ini bertujauan untuk mengetahui pemodelan matematik yang digunakan untuk
menyelesaikan sistem persamaan linier, Sistem persamaan linier merupakan bagian
dari materi aljabar linier. Sistem persamaan linier yang mempunyai m persamaan dan n variabel disebut disebut sistem persamaan linier orde m x n , sedangkan bila jumlah persamaan
sama dengan jumlah variabel disebut dengan sistem persamaan linier orde n x n.
Penelitian ini dikhususkan pada penyelesaian sistem persamaan linier untuk orde
n x n dengan metode eliminasi Gauss, pembahasan penelitian memberikan
kesimpulan bahwa penyelesaian metode geauus jordan yaitu dengan memanipulasi persamaan-persamaan yang ada
dan meghilangkan salah satu variabel dari persamaan-persamaan tersebut sampai
akhirya hanya tinggal satu persamaan dengan satu variabel.
Kata kunci
:Metode gauss digunakan
untuk menyelesaikan sistem persamaan linier n
persamaan dan n persamaan dan n variabel, dengan n sama dengan satu sampai lima.
Sistem persamaan
linier
Sistem
persamaan linier didefinisikan sebagai suatu persamaan dengan n perubah x₁ . x₂ . ΛΛ .xn yang dapat di nyatakan dalam bentukɑ₁x₁ + ɑ₂x₂ + ΛΛ + ɑnxn=b, dimana ɑ₁.ɑ₂.ΛΛ.ɑn dan b adalah konstanta riil, adapun sistem persanaan linier
dinyatakan sebagai himpunan berhingga dari persamaan – persamaan linier dalam perubahan ɑ₁.ɑ₂.ΛΛ.ɑn , pemecahan masing-masing persamaan dari sistem tersebut dapat
dinyatakan dalam sebuah urutan bilangan-bilangan s₁ , s₂ , ΛΛ ,sn jika x₁=s₁,s₂= s₂, ΛΛ, xn=s
Suatu
sistem persamaan dikatakan tidak konstanta jika tidak mempunyai pemecahan.
Namun, apabila sistem persamaan tersebut mempunyai setidak-tidaknya satu
pemecahan , maka sistempersamaan tersebut dinamakan konstanta. Jadi, apabila
terdapat terdapat persamaan linier Ax=B, dikatakan tidak mempunyai pemecahan
jika A = 0, tetapi B
0, sedangkan dikatakan mempunyai pemecahan
jika dan hanya jika determinan dari koefaktor-koefaktornya bukan nol
Metode Gauss merupakan metode operasi baris untuk
mencapai suatu upper triagular matrix, untuk
selanjutnya diselesaikan dengan cara eliminasi. Prinsip dari metode ini adalah
dengan memanipulasi persamaan-persamaan yang ada dengan meghilangkan salah satu
variabel dari persamaan-persamaan tersebut sampai akhirya hanya tinggal satu
persamaan dengan satu variabel.
Metode eleminasi Gauss adalah proses eliminasi
dengan menggunakan operasi elementer (eselon) baris atau mengubah sistem linier
menjadi matriks terbentuk segitiga, kemudian dipecahkan dengan subsitusi
langkah mundur.
Suatu matriks dikatakan memiliki bentuk ekselon
baris jika:
a.
Entri bukan nol pertama dalam setiap baris adalah 1
b.
Jika baris tidak seluruhnya nol, maka banyaknya entri nol dibagian
muka dari k+1 lebih besar dari
banyaknya entri nol di bagian muka dari baris k
c.
Jika terdapat baris-baris yang semuanya nol, maka baris-baris ini
berada di bawah baris-baris yang memiliki entri-entri bukan nol
Algoritma solusi sistem persamaan linier sengan metode Geuss Pada langka pertama, elemen poros dipilih dari entri-entri bukan nol dikolom pertama dari matriks. Baris yang mengandung elemen poros terseblut baris poros (pivot row). Kita pertukarkan baris-baris (jika diperlukan) sehingga baris poros menjadi baris pertama yang baru, kemudian kelipatan dari baris poros dikurangkan dari setiap n-1 baris selebihnya sehingga diperoleh 0 pada posisi (2,1),........,(n,1). Pada langka kedua, elemen poros dipilih dari entri-entri bukan nol di kolom 2, baris 2, sampai baris n dari matriks. Kemudian baris yang mengandung poros dipertukarkan dengan baris kedua dugunakan sebagai baris poros yanga baru. Kemudian kelipatan dari baris poros dikurangkan dari n-2 baris sisanya sehingga megeliminasi semua entri dibawah poros kolom kedua. Prosedur yang sama diulangi untuk kolom-kolom 3 sampai n-1 perlu diperhatikan bahwa pada langka kedua baris yang pertama dan kedua kolom yang pertama tetap tidak berubah dan seterusnya. Pada setiap langka, dimensi keseluruhan dari sistem secara efektif dikurangi satu.
Langkah –langkah penyelesaian pertidaksamaan
linier dengan metode gauss
a.
Mencari kolom dari kiri yang berisi entri tidak nol, entri tidak nol
dalam baris pertama atau satu
b.
Bila entri baris kolom pertama tidak sama dengan satu, maka dilakukan
operasi baris elementer pada baris tersebut
c.
Kemudian untuk baris dibawahnya, mengikuti langka b dan c, entri di
bawah baris kolom pertama dibuat nol, dan seterusnya
d.
Jika terdapat baris, baris yang memliki entri semuanya nol maka
baris-baris tersebut berada dibawah baris-baris yang memiliki entri-entri bukan
nol
e.
Setelah terbentuk matriks segitiga atas, maka lakukan subsitusi balik
untuk memperoleh penyelesaian sistem.
Penyelesaian persamaan linier dengan metode geuss jordan
Matrik Ordo 2 x 2
Matriks Ordo 3x3
Matrik ordo 5x5
Kesimpulan
Metedo geuss jordan adalah metodeh yang paling
efektif digunakan untuk menyelesaikan persamaan linier dengan mengubah
persamaan linier dalam bentuk matriks, dan prinsip metode gauss adalah dengan
memanipulasi persamaan- persamaan yang ada dengan meghilangkan salah satu
variabel dari persamaan – persamaan tersebut sampai akhirnya hanya tinggal satu
peramaan dengan satu variabel.
Daftar pustaka
Anggraini, Wiwik. (2006).Aljabar linier, Aljabar Linier Dengan Program Matlab.Yogyakarta:
Graha Ilmu
Anton, Howard, (1987). Aljabar Linier dengan Penerapannya. Pantur silaban dan I Nyoman
Susilo. Jakarta : Erlangga
Cullen, Charles G.(1993), Aljabar Linier dengan
Penerapannya. Bambang Sumantri.
Jakarta : Gramedia Pustaka Utama.
Read Users' Comments (1)komentar