Pembelajaran Inovatif II: METODE GAUSS UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN LINIER

METODE GAUSS UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN LINIER

Posted in

07.26

KARYA ILMIAH

METODE GAUSS UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN LINIER

Oleh :

Nur Makiyah NIM :1331081
Maulidiyah Dwi A . NIM : 1331056

STKIP PGRI SIDOARJO

MATEMATIKA 2013A PAGI

TAHUN AJARAN 2013 – 2014

Abstrak

Penelitian ini bertujauan untuk mengetahui pemodelan matematik yang digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier, Sistem persamaan linier merupakan bagian dari materi aljabar linier. Sistem persamaan linier yang mempunyai m persamaan dan n variabel disebut disebut sistem persamaan linier orde m x n , sedangkan bila jumlah persamaan sama dengan jumlah variabel disebut dengan sistem persamaan linier orde n x n. Penelitian ini dikhususkan pada penyelesaian sistem persamaan linier untuk orde n x n dengan metode eliminasi Gauss, pembahasan penelitian memberikan kesimpulan bahwa penyelesaian metode geauus jordan yaitu dengan memanipulasi persamaan-persamaan yang ada dan meghilangkan salah satu variabel dari persamaan-persamaan tersebut sampai akhirya hanya tinggal satu persamaan dengan satu variabel.

Kata kunci :Metode gauss digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier n persamaan dan n persamaan dan n variabel, dengan n sama dengan satu sampai lima.

Sistem persamaan linier

Sistem persamaan linier didefinisikan sebagai suatu persamaan dengan n perubah x₁ . x₂ . ΛΛ .xn yang dapat di nyatakan dalam bentukɑ₁x₁ + ɑ₂x₂ + ΛΛ + ɑnxn=b, dimana ɑ₁.ɑ₂.ΛΛ.ɑn dan b adalah konstanta riil, adapun sistem persanaan linier dinyatakan sebagai himpunan berhingga dari persamaan – persamaan linier dalam perubahan ɑ₁.ɑ₂.ΛΛ.ɑn , pemecahan masing-masing persamaan dari sistem tersebut dapat dinyatakan dalam sebuah urutan bilangan-bilangan s₁ , s₂ , ΛΛ ,sn jika x₁=s₁,s₂= s₂, ΛΛ, xn=s

Suatu sistem persamaan dikatakan tidak konstanta jika tidak mempunyai pemecahan. Namun, apabila sistem persamaan tersebut mempunyai setidak-tidaknya satu pemecahan , maka sistempersamaan tersebut dinamakan konstanta. Jadi, apabila terdapat terdapat persamaan linier Ax=B, dikatakan tidak mempunyai pemecahan jika A = 0, tetapi B 0, sedangkan dikatakan mempunyai pemecahan jika dan hanya jika determinan dari koefaktor-koefaktornya bukan nol

Metode Gauss merupakan metode operasi baris untuk mencapai suatu upper triagular matrix, untuk selanjutnya diselesaikan dengan cara eliminasi. Prinsip dari metode ini adalah dengan memanipulasi persamaan-persamaan yang ada dengan meghilangkan salah satu variabel dari persamaan-persamaan tersebut sampai akhirya hanya tinggal satu persamaan dengan satu variabel.

Metode eleminasi Gauss adalah proses eliminasi dengan menggunakan operasi elementer (eselon) baris atau mengubah sistem linier menjadi matriks terbentuk segitiga, kemudian dipecahkan dengan subsitusi langkah mundur.

Suatu matriks dikatakan memiliki bentuk ekselon baris jika:

a. Entri bukan nol pertama dalam setiap baris adalah 1

b. Jika baris tidak seluruhnya nol, maka banyaknya entri nol dibagian muka dari k+1 lebih besar dari banyaknya entri nol di bagian muka dari baris k

c. Jika terdapat baris-baris yang semuanya nol, maka baris-baris ini berada di bawah baris-baris yang memiliki entri-entri bukan nol

Algoritma solusi sistem persamaan linier sengan metode Geuss
Pada langka pertama, elemen poros dipilih dari entri-entri bukan nol dikolom pertama dari matriks. Baris yang mengandung elemen poros terseblut baris poros (pivot row). Kita pertukarkan baris-baris (jika diperlukan) sehingga baris poros menjadi baris pertama yang baru, kemudian kelipatan dari baris poros dikurangkan dari setiap n-1 baris selebihnya sehingga diperoleh 0 pada posisi (2,1),........,(n,1). Pada langka kedua, elemen poros dipilih dari entri-entri bukan nol di kolom 2, baris 2, sampai baris n dari matriks. Kemudian baris yang mengandung poros dipertukarkan dengan baris kedua dugunakan sebagai baris poros yanga baru. Kemudian kelipatan dari baris poros dikurangkan dari n-2 baris sisanya sehingga megeliminasi semua entri dibawah poros kolom kedua. Prosedur yang sama diulangi untuk kolom-kolom 3 sampai n-1 perlu diperhatikan bahwa pada langka kedua baris yang pertama dan kedua kolom yang pertama tetap tidak berubah dan seterusnya. Pada setiap langka, dimensi keseluruhan dari sistem secara efektif dikurangi satu.

Langkah –langkah penyelesaian pertidaksamaan linier dengan metode gauss

a. Mencari kolom dari kiri yang berisi entri tidak nol, entri tidak nol dalam baris pertama atau satu

b. Bila entri baris kolom pertama tidak sama dengan satu, maka dilakukan operasi baris elementer pada baris tersebut

c. Kemudian untuk baris dibawahnya, mengikuti langka b dan c, entri di bawah baris kolom pertama dibuat nol, dan seterusnya

d. Jika terdapat baris, baris yang memliki entri semuanya nol maka baris-baris tersebut berada dibawah baris-baris yang memiliki entri-entri bukan nol

e. Setelah terbentuk matriks segitiga atas, maka lakukan subsitusi balik untuk memperoleh penyelesaian sistem.

Penyelesaian persamaan linier dengan metode geuss jordan

Matrik Ordo 2 x 2

Matriks Ordo 3x3

Matrik 4x4

Matrik ordo 5x5

Kesimpulan

Metedo geuss jordan adalah metodeh yang paling efektif digunakan untuk menyelesaikan persamaan linier dengan mengubah persamaan linier dalam bentuk matriks, dan prinsip metode gauss adalah dengan memanipulasi persamaan- persamaan yang ada dengan meghilangkan salah satu variabel dari persamaan – persamaan tersebut sampai akhirnya hanya tinggal satu peramaan dengan satu variabel.

Daftar pustaka

Anggraini, Wiwik. (2006).Aljabar linier, Aljabar Linier Dengan Program Matlab.Yogyakarta: Graha Ilmu

Anton, Howard, (1987). Aljabar Linier dengan Penerapannya. Pantur silaban dan I Nyoman Susilo. Jakarta : Erlangga

Cullen, Charles G.(1993), Aljabar Linier dengan Penerapannya. Bambang Sumantri. Jakarta : Gramedia Pustaka Utama.