Pembelajaran Inovatif II

Posted in

18.52

Ø Persamaan Diophantine Non Linear Sederhana Triple Pythagoras

Terdapat berbagai cara untuk menyelesaikan persamaan Diophantine non linier, diantaranya adalah:

1. Tripel Pythagoras

Dalil Pythagoras menyatakan bahwa di dalam sebarang segitiga siku-siku, kuadrat panjang sisi miring (hypotenuse) sama dengan jumlah kuadrat panjang dari sisi-sisi (kaki-kaki, legas) yang lain.Sebaliknya, sebarang segitiga yang memenuhi hubungan kuadrat panjang sisi terpanjang sama dengan jumlah kuadrat panjang dari sisi-sisi yang lebih pendek, maka segitiga itu tentu merupakan segitiga siku-siku.

Secara geometri, dalil Pythagoras terkait dengan perhitungan luas dari suatu bujur sangkar yang sisi-sisinya adalah sisi-sisi dari suatu segitiga siku-siku.Jika suatu segitiga siku-siku mempunyai sisi-sisi miring c dan sisi-sisi yang lain adalah a dan b, maka hubungan antara a, b, c menurut dali Pythagoras adalah:c² = a² + b²

Salah satu persamaan Diophantine non linear yang familiar adalah persamaan pada tripel Pythagoras. Tripel Pythagoras adalah tiga bilangan bulat positif x, y, dan z yang memenuhi persamaan x² + y² = z². Contoh tripel Pythagoras yang paling sederhana adalah 3, 4, dan 5, atau 5, 12, dan 13, sebagaimana sering dibahas di tingkat sekolah dasar maupun menengah.Beberapa Triple Pythagoras adalah:

3, 4, 5 sebab 5² = 3² + 4²

5, 12, 13 sebab 13² = 5² + 12²

7, 24, 25 sebab 25² = 7² + 24²

8, 15, 17 sebab 17² = 8² + 15²

9, 40, 41 sebab 41² = 9² + 40²

Pythagoras adalah seorang filsuf dan matematikawan Yunani kuno yang lahir sekitar tahun 580 SM. Nama tripel Pythagoras diberikan karena Pythagoras, atau setidaknya para muridnya, diyakini sebagai orang yang pertama kali membuktikan bahwa persamaan x²+ y² = z² sesungguhnya berlaku secara umum pada sembarang segitiga siku-siku dengan sisi-sisi tegak x dan y dan sisi miring z (di sini x, y dan z tidak harus merupakan bilangan bulat, tetapi sembarang bilangan Real positif). Dalil ini pun kemudian dikenal sebagai Dalil Pythagoras. Namun, sesungguhnya, tripel Pythagoras sudah dikenal oleh orang Babylonia sejak tahun 1600 SM. Pengetahuan tentang tripel Pythagoras diperlukan, misalnya, dalam tukar menukar (barter) tanah pada zaman itu. Seseorang yang mempunyai sebidang tanah berukuran 50

50 meter kuadrat, misalnya, dapat menukarnya dengan dua bidang tanah berukuran 30

30 dan 40

40 meter kuadrat. (Menurut Dalil Pythagoras, berlaku 50

50 = 30

30 + 40

40).

Pada zaman itu, orang Babylonia bahkan juga sudah tahu bagaimana menemukan tripel Pythagoras. Sebagai contoh, mereka tahu bahwa jika m ganjil, maka m,

(m²- 1), dan

(m² + 1) merupakan tripel Pythagoras; dan jika m genap, maka 2m, m² - 1, dan m² + 1 merupakan tripel Pythagoras. Nah, menelusuri cara berpikir orang zaman dulu, tulisan ini akan membahas secara detail bagaimana menemukan tripel Pythagoras tersebut.

Pertama, kita perlu mengetahui apa yang disebut sebagai tripel Pythagoras dasar (Primitive Pythagoras).

Definisi 7.1

Suatu tripel Pythagoras x, y, z disebut primitive Pythagoras jika FPB (x, y, z) = 1

Contoh:

1. Triple Pythagoras 3, 4, 5 adalah primitive Pythagoras sebab FPB (3, 4, 5) = 1 dan 5² = 3² + 4²

2. Triple Pythagoras 7, 24, 25 adalah primitive Pythagoras sebab FPB (7, 24, 25) = 1 dan 25² = 7² + 24²

3. Triple Pythagoras 6, 8, 10 adalah bukan primitive Pythagoras sebab FPB (6, 8, 10) = 2

4. Triple Pythagoras 24, 45, 51 adalah bukan primitive Pythagoras sebab FPB (24, 45, 51) = 3

Jika diketahui suatu primitive Pythagoras (3, 4, 5) kemudian masing-masing bilangan dalam triple itu dikalikan 2, sehingga diperoleh (6, 8, 10). Jika bilangan pengali diganti 7 maka diperoleh (21, 28, 35). Karena 35² = 21² + 28², maka jelas bahwa (21, 28,35) merupakan tripel Pythagoras.

Misalkan x₀, y₀, z₀ adalah suatu primitive Pythagoras, maka berlaku x₀² + y₀²= z₀². Jika masing-masing dikalikan k maka diperoleh tripel kx₀, ky₀, kz₀perhatikan:

x₀² + y₀² = z₀²→ k²x₀²+ k²y₀²= k²z₀²

Misalkan x, y, z adalah suatu tripel Pythagoras dan FPB (x, y, z) = d maka:

d | x , d | y , d | z

d | x → x = dx₀→

Z →

d | y → y = dy₀ →

Z →

d | z → z = dz₀ →

Z →

x² + y²= z² →

(x² + y²) =

z² →

→ (

)² + (

)² = (

)²

→ x₀² + y₀² = z₀²

x₀, y₀, z₀ merupakan suatu tripel Pythagoras, karena (

) = 1 dan (

) = 1, maka jelas bahwa (

) = 1, berartix₀, y₀, z₀ merupakan suatu tripel Pythagoras primitive.

Teorema 1.1

Jika x, y, z adalah suatu tripel Pythagoras primitive, maka FPB (x, y) = FPB (x, z) = FPB (y, z) = 1

Bukti:

Untuk membuktikan dalil ini, digunakan bukti tidak langsung.

Misalkan FPB (x,y)

1, yaitu FPB (x,y) > 1

Karena FPB (x,y) > 1, maka FPB (x,y) merupakan bilangan prima atau FPB (x,y) merupakan bilangan komposit (yang dapat difaktorkan menjadi faktor-faktor prima), maka jelas ada bilangan prima p sehingga p | (x,y)

p | (x,y) → (p | x dan p | y)

(p | x² dan p | y²) → p | (x² + y²) → p | z²→ p | z

(p | x, p | y, dan p | z → (x,y,z) ≠ 1

Karena x,y,z adalah suatu primitive Pythagoras, maka FPB (x,y,z) = 1

FPB (x,y,z) = 1 dan FPB ( x, y,z)

1, berarti terjadi kontradiksi.

Jadi, pemisalan FPB (x,y) ≠ 1 adalah salah sehingga FPB (x,y) = 1

Dengan jalan yang sama dapat dibuktikan bahwa FPB (x,z) = 1 dan FPB (y,z) = 1

Contoh:

· Misalnya, x = 6 dan y = 8

FPB (6,8) = 2 dan 2 merupakan bilangan prima, maka:

2 | (6,8) ® 2 | 6 dan 2 | 8

Maka diperoleh:

2 | 6² dan 2 | 8² ® 2 | 36 dan 2 | 64 ® 2 | (36 + 64)

Karena x² + y² = z² , maka:

2 | (36 + 64) ® 2 | 100 ® 2 | 10

FPB (x, y) ® FPB (6, 8) = 2

FPB (x, z) ® FPB (6, 10) = 2

FPB (y, z) ® FPB (8, 10) = 2

FPB (6, 8) = FPB (6, 10) = FPB (8, 10) = 2

FPB (6, 8, 10) = 2

Jadi (6, 8, 10) bukan tripel Pythagoras primitive

· Misalnya, x = 7 dan y = 24

FPB (7, 24) = 1

1 | (7, 24) ® 1 | 7 dan 1 | 24

Maka diperoleh:

1 | 7² dan 1 | 24² ® 1 | 49 dan 1 | 576 ® 1 | (49 + 576)

Karena x² + y² = z² , maka:

1 | (49 + 576) ® 1 | 625 ® 1 | 25

FPB (x, y) ® FPB (7, 24) = 1

FPB (x, z) ® FPB (7, 25) = 1

FPB (y, z) ® FPB (24, 25) = 1

FPB (7, 24) = FPB (1, 25) = FPB (24, 25) = 1

FPB (7, 24, 25) = 1

Jadi (6, 8, 10) merupakan tripel Pythagoras primitive

Teorema 1.2

Jika x, y, z adalah suatu tripel Pythagoras primitive, maka x dan y tidak mungkin keduanya bilangan genap.

Bukti:

x dan y tidak mungkin keduanya merupakan bilangan genap sebab kalau x = 2s (x adalah suatu bilangan genap) dan y = 2t ( y adalah suatu bilangan genap), maka (x,y) = (2s,2t) dan FPB (2s,2t)

dan jika x dan y genap, maka z juga akan genap. Dalam hal ini, x, y, dan z mempunyai faktor sekutu 2.Ini bertentangan dengan asumsi bahwa x, y, dan z tidak mempunyai faktor sekutu selain 1.

Contoh:

Ø Misalnya, suatu tripel Pythagoras adalah (x, y, z) = (6, 8, 10) dan FPB (6, 8) = 2 maka (6, 8, 10) bukanlah suatu tripel Pythagoras primitive.

Ø Misalnya, suatu tripel Pythagoras adalah (x, y, z) = (7, 24, 25) dan FPB (7, 24) = 1 maka (7, 24, 25) merupakan suatu tripel Pythagoras primitive.

Teorema 1.3

Jika x, y, z adalah suatu tripel Pythagoras primitive, maka x dan y tidak mungkin keduanya bilangan ganjil

Bukti:

Jika x = 2m + 1 dan y = 2n + 1, maka x² + y² = 4(m² + m + n²+ n) + 2, sehingga sisa hasil bagi x² + y²dengan 4 adalah 2. Sementara itu, sisa hasil bagi z² dengan 4 adalah 0 atau 1. Jadi tidak mungkin x² + y² = z².

Contoh:

Ø Misalnya, x = 3 dan y = 5

x² + y² = z²

3² + 5² = z²

9 + 25 = z²

34 = z²

z =

karena

tidak bisa dinyatakan dalam bentuk bilangan bulat, maka (3, 5,

) bukan merupakan tripel Pythagoras maka juga bukan merupakan tripel Pythagoras primitive.

Teorema 1.4

Jika x, y, z adalah suatu tripel Pythagoras primitive, maka x adalah bilangan genap dan y adalah bilangan ganjil atau x adalah bilangan ganjil dan y adalah bilangan genap dan maka z adalah bilangan ganjil.

Bukti:

Jika x genap dan y ganjil, maka x² genap dan y² ganjil.Karena itu z² ganjil, dan sebagai akibatnya z juga ganjil. Demikian pula jika x ganjil dan y genap, maka z ganjil.

Contoh:

Ø x = 7, y = 24, dan z = 25

® 7²+ 24² = 25²

® 49 + 576 = 625

(merupakan suatu primitive tripel Pythagoras)

Ø x = 8, y = 15, dan z = 17

® 8²+ 15² = 17²

® 64 + 225 = 289

(merupakan suatu primitive tripel Pythagoras)

Teorema 1.5

Jika x, y, z adalah tripel Phytagoras primitive, maka x = 2mn, y = m² - n², dan z = m² + n², dengan m > n dan m dan n tidak mempunyai faktor sekutu selain 1.

Bukti:

Asumsikan x genap, y ganjil, dan z ganjil.

Tulis x² = z² - y² = (z - y)(z + y). Berdasarkan asumsi di atas, kita tahu bahwa z - y dan z + y genap.Selanjutnya tinjau

(z - y) dan

(z + y).Akan kita tunjukkan bahwa faktor sekutu terbesar dari kedua bilangan ini adalah 1.

Untuk itu, andaikan

(z - y) dan

(z + y) mempunyai faktor sekutu k > 1. Dalam hal ini terdapat p dan q sedemikian hingga z - y = 2kq dan z + y = 2kp.

Dari sini kita peroleh z = k(p + q) dan y = k(p - q).

Sementara itu, x² = 4k²pq.

Dengan demikian pq mestilah merupakan kuadrat sempurna, katakan pq = r². Akibatnya, x = 2kr, dan karena itu x, y, dan z mempunyai faktor sekutu k > 1.

Ini bertentangan dengan asumsi bahwa x, y, dan z tidak mempunyai faktor sekutu selain 1. Dengan demikian

(z - y) dan

(z + y) tidak mungkin mempunyai faktor sekutu selain 1.

Sekarang misalkan x = 2r (ingat: x genap). Maka, r² =

(z - y) .

(z + y), sehingga mestilah

(z - y) dan

(z + y) merupakan kuadrat sempurna, katakan

(z - y) = n² dan

(z + y) = m², dengan m > n dan m dan n tidak mempunyai faktor sekutu selain 1.

Dari sini kita peroleh z = m² + n², y = m² - n², dan x = 2mn.

Hasil terakhir mengatakan jika x, y, dan z merupakan tripel Pythagoras primitive, maka x, y, dan z mestilah memenuhi teorema 1.5.

Sebaliknya tidak berlaku, jika x, y, dan z memenuhi teorema 1.5, maka x, y, dan z hanya merupakan tripel Pythagoras, belum tentu merupakan tripel Pythagoras primitif.

Contoh:

Ø Untuk m = 3 dan n = 1, kita peroleh x = 6, y = 8, dan z = 10. Untuk memperoleh tripel Pythagoras dasar, kita harus membaginya dengan faktor sekutu terbesar.

Tabel berikut ini menunjukkan 20 bilangan tripel Pythagoras primitive berdasarkan teorema 1.5.

No	m	n	m²	n²	x = 2mn	y = m²-n²	z = m²+n²
1	2	1	4	1	4	3	5
2	3	2	9	4	12	5	13
3	4	1	16	1	8	15	17
4	4	3	16	9	24	7	25
5	5	2	25	4	20	21	29
6	5	4	25	16	40	9	41
7	6	1	36	1	12	35	37
8	6	5	36	25	60	11	61
9	7	2	49	4	28	45	53
10	7	4	49	16	56	33	65
11	7	6	49	36	84	13	85
12	8	1	64	1	16	63	65
13	8	3	64	9	48	55	73
14	8	5	64	25	80	39	89
15	8	7	64	49	112	15	113
16	9	2	81	4	36	77	85
17	9	4	81	16	72	65	97
18	9	8	81	64	144	17	145
19	10	1	100	1	20	99	101
20	10	3	100	9	60	91	109

Teorema 1.6

Jika x, y, z Î N dan (x, y, z) = 1, maka persamaan x² + 2y² = z² mempunyai penyelesaian :

x = |r² – 2s²|

y = 2rs

z = r² + 2s²

dengan (r, s)> 0 dan (r, 2s) = 1

Bukti:

FPB (x,y,z) = 1, ambil x adalah suatu bilangan ganjil, z adalah suatu bilangan ganjil, dan y adalah suatu bilangan genap.

y adalah suatu bilangan genap, ambil y = 2m, sehingga dapat ditentukan:

x² + 2y² = z²

x² + 2(2m)²= z²

x² + 8m² = z²

2m² =

Karena

= 1, maka sesuai dengan sifat ketunggalan pemfaktoran, dapat ditentukan bahwa:

(r² =

dan 2s²=

) atau (2r² =

dan s² =

dengan (r,2s) = 1 atau (2r,s) = 1,

r² =

® z + x = 2r²

2s² =

® z – x = 4s²

2z = 2r² + 4s²

z = r² + 2s²

r² =

® z + x = 2r²

2s² =

® z – x = 4s²

2x = 2r² – 4s²

x = r² – 2s²

2m² = (r²) (2s²)

2m = r2s ® y = 2m = 2rs

Sebagai fakta bahwa x² + 2y² = z² mempunyai penyelesaian, ambil beberapa nilai r, s yang memenuhi (r, 2s) = 1 atau (2r, s) = 1.

r	s	x = \|r² – 2s²\|	y = 2rs	z = r² + 2s²
1	3	17	6	19
2	3	14	12	22

Teorema 1.7

Jika x, y, z Î N dan (x, y, z) = 1, maka persamaan x² + y² = 2z² mempunyai penyelesaian:

x = r² – s² + 2rs

y = |rs² – s² – 2rs|

z = r² + s²

dengan r, s Î N dan (u, v) = 1, serta u dan v mempunyai parities yang berbeda.

Bukti:

Karena FPB (x, y, z) = 1, dan berdasarkan sifat kongruensi modulo 4, maka x, y, dan z semuanya adalah bilangan ganjil, sehingga Î Z. (x, y) =

2z² = x² + y2

z²=

z² =

= r² – s² ,

= 2rs, dan z = r²+ s²

® atau

= 2rs ,

= r² – s², dan z = r²+ s²

= r²- s² ®

= r²- s²

= 2rs ®

= 2rs

x = r² - s² + 2rs

= r²- s² ®

= r²- s²

= 2rs ®

= 2rs

y = r² - s² - 2rs

z = r²+ s²

Sebagai fakta bahwa x² + y²= 2z² mempunyai penyelesaian ambil beberapa nilai r dan s yang memenuhi (r, s) = 1, serta r dan s mempunyai paritas yang berbeda.

r	s	x = r² – s² + 2rs	y = \| r² – s² - 2rs \|	z = r² + s²
2	1	7	1	5
3	1	14	2	10
3	2	17	7	13

2. Persamaan Pell

Bentuk umum persamaan Pell adalah x² + dy² = k. Nilai k yang dipakai dalam persamaan Pell adalah k =

1 atau |k| > 1, dengan d positif dan bukan kuadrat sempurna.Jika d <0 dan k <0 maka tidak ada penyelesaiannya. Jika d < 0 dan k >0 maka tidak ada penyelesaiannya. Jika d<0 dan k >0 maka penyelesaiannya berhingga, karena berakibat |x|

dan |y|

.Jika d kuadrat sempurna maka penyelesaiannya trivial.

Misalkan d = D² maka x² – dy² = x² – Dy² = (x + Dy) (x - Dy) = k.

Misalkan x + Dy = a dan x – Dy = b, maka ab = k sehingga penyelesaiannya berhingga.

Teorema 2.1

Misalkan d dan k adalah bilangan bulat dengan d > 0 dan bukan kuadrat sempurna serta |k|

. Jika x² – dy² = k maka

konvergen ke

Bukti:

Ambil k > 0, karena x² – dy² = k, maka (x + y

) (x – y

) = k

Sehingga x - y

> d, maka x > y

dan berakibat

– d > 0

Dan karena 0 < k <

sehingga:

– d =

Karena 0 <

, maka

konvergen ke

Jika k < 0 maka kedua ruas dari x² – dy² = k dibagi dengan –d sehingga

y²-

x² = -

Sama dengan k > 0, kita dapatkan bahwa

konvergen ke

Sehingga

pasti konvergen ke

Teorema 2.2

Jika (x₁,y₁) dan (x₂,y₂) adalah penyelesaian dari x² – dy² = 1

maka bilangan bulat (x,y) yang didefinisikan dengan

x + y

= (x₁ + y₁

)(x₂ + y₂

)

juga merupakan penyelesaian dari x² + dy² = 1

Bukti:

x + y

= (x₁ + y₁

)(x₂ + y₂

)

= x₁x₂+ x₁y₂

+ x₂y₁

+ dy₁y₂

= (x₁x₂ + dy₁y₂) +

(x₁y₂+ x₂y₁)

x - y

= (x₁ - y₁

) (x₂ - y₂

)

= x₁x₂- x₁y₂

- x₂y₁

+ dy₁y₂

= (x₁x₂ + dy₁y₂) -

(x₁y₂+ x₂y₁)

Jadi, x = x₁x₂ + dy₁y₂dan y = x₁y₂ + x₂y₁

x² – dy² = (x₁x₂ + dy₁y₂)² – d(x₁y₂ + x₂y₁)²

= (x₁²x₂² + 2dx₁x₂y₁y₂+ d²y₁²y₂²) - d(x₁²y₂² + 2x₁x₂y₁y₂+ x₂²y₁²)

= x₁²x₂² + 2dx₁x₂y₁y₂+ d²y₁²y₂² - dx₁²y₂² – 2dx₁x₂y₁y₂- dx₂²y₁²

= x₁²x₂² + d²y₁²y₂² - dx₁²y₂² – dx₂²y₁²

= (x₁²x₂² -dx₁²y₂²) – (dx₂²y₁² - d²y₁²y₂²)

= x₁²(x₂² - dy₂²) – dy₁²(x₂² - dy₂²)

= (x₂² - dy₂²) (x₁² – dy₁²)

= 1.1

= 1

Contoh:

Cari nilai x dan y yang memenuhi persamaan jika x² + 10y² = 1

jika x₁= 19, y₁= 6, x₂= 721 dan y₂= 228 ?

Jawab:

Untuk x dan y dicari melalui :

x + y

= ( x₁ + y₁

) ( x₂ + y₂

)

x + y

= (19 + 6

) (721+ 228

)

= 13699 + 13680 + 4332

+ 4326

= 27379 + 8658

x = 27379 dan y = 8658 , sehingga :

273792 – 10 ·86582 = 1

749609641 – 749609640 = 1

1 = 1 (terbukti)

Teorema 2.3

Jika (x₁,y₁) adalah penyelesaian terkecil dari x² + dy² = 1, maka penyelesaian umumnya berbentuk: x + y

(x₁ + y₁

)ⁿ , n = 0,

1,…

Bukti:

Untuk membuktikan kita memakai identitas berikut:

(x₁ + y₁

) (x₂ + y₂

) = x₁x₂+ x₁y₂

+ x₂y₁

+ dy₁y₂

= (x₁x₂ + dy₁y₂) +

(x₁y₂+ x₂y₁)

Ø Untuk nilai positif x + y

= (x₁ + y₁

)ⁿ, diperoleh:

x + y

= (x₁ + y₁

)ⁿdan x - y

= (x₁ - y₁

)ⁿ

(x + y

) (x - y

) = (x² + xy

- xy

– dy²)

= (x² – dy²)

Maka:

(x² – dy²) = (x + y

) (x - y

)

= (x₁ + y₁

)ⁿ (x₁ – y₁

)ⁿ

= ((x₁ + y₁

) (x₁ – y₁

))ⁿ

= (x₁² + x₁y₁

– x₁y₁

– dy₁²)ⁿ

= (x₁² – dy₁²)ⁿ

= 1ⁿ

= 1

Ø Untuk nilai negatif x + y

= - (x₁ + y₁

)ⁿ, diperoleh:

- (x + y

) = (x₁ + y₁

)ⁿdan – (x - y

) = (x₁ - y₁

)ⁿ

(-(x + y

)) (-(x - y

)) = (x² - xy

+ xy

– dy²)

= (x² – dy²)

Maka:

(x² – dy²) = (-(x + y

))(-(x - y

))

= (x₁ + y₁

)ⁿ (x₁ – y₁

)ⁿ

= ((x₁ + y₁

) (x₁ – y₁

))ⁿ

= (x₁² + x₁y₁

– x₁y₁

– dy₁²)ⁿ

= (x₁² – dy₁²)ⁿ

= 1ⁿ

= 1

Contoh:

Cari dua nilai x dan y yang memenuhi persamaan x² – 2y² = 1 ?

Jawab:

yang memenuhi adalah x = 3 dan y = 2 sehingga:

x² – 2y² = 1

3² – 2.2² = 1

9 – 2.4 = 1

9 – 8 = 1

1 = 1(terbukti)

untuk x₂ dan y₂ maka:

x + y

= (x₁ + y₁

)ⁿ

= (3 + 2

)²

= 9 + 12

+ 8

= 17 + 12

x₂ = 17 dan y₂ = 12, maka :

x² – 2y² = 1

17² – 2.12² = 1

289 – 2. 144 = 1

289 – 288 = 1

1 = 1 (terbukti)

Teorema 1.4

Jika (x₁,y₁) adalah penyelesaian terkecil dari x² - dy² = -1, maka penyelesaian umumnya berbentuk: x + y

(x₁ + y₁

)^{2n
+ 1} , n = 0,

1,…

Bukti:

Untuk membuktikan kita memakai identitas berikut:

(x₁ + y₁

) (x₂ + y₂

) = x₁x₂+ x₁y₂

+ x₂y₁

+ dy₁y₂

= (x₁x₂ + dy₁y₂) +

(x₁y₂+ x₂y₁)

(x₁ - y₁

) (x₂ - y₂

) = x₁x₂- x₁y₂

- x₂y₁

+ dy₁y₂

= (x₁x₂ + dy₁y₂) -

(x₁y₂+ x₂y₁)

Ø Untuk nilai positif x + y

= (x₁ + y₁

)^{2n + 1}, diperoleh:

x + y

= (x₁ + y₁

)^{2n + 1}dan x - y

= (x₁ - y₁

)^{2n + 1}

(x + y

) (x - y

) = (x² + xy

- xy

– dy²)

= (x² – dy²)

Maka:

(x² – dy²) = (x + y

) (x - y

)

= (x₁ + y₁

)^{2n + 1} (x₁ – y₁

)^{2n + 1}

= ((x₁ + y₁

) (x₁ – y₁

))^{2n + 1}

= (x₁² + x₁y₁

– x₁y₁

– dy₁²)^{2n + 1}

= (x₁² – dy₁²)^{2n + 1}

= (x₁² – dy₁²)²ⁿ(x₁² – dy₁²)

= (-1²) (-1)

= 1ⁿ (-1)

= -1

Ø Untuk nilai negatif x + y

= - (x₁ + y₁

)^{2n + 1}, diperoleh:

-(x + y

) = (x₁ + y₁

)^{2n + 1}dan –(x - y

) = (x₁ - y₁

)^{2n + 1}

(-(x + y

)) (-(x - y

)) = (x² + xy

- xy

– dy²)

= (x² – dy²)

Maka:

(x² – dy²) = (-(x + y

))(-(x - y

))

= (x₁ + y₁

)^{2n + 1} (x₁ – y₁

)^{2n + 1}

= ((x₁ + y₁

) (x₁ – y₁

))^{2n + 1}

= (x₁² + x₁y₁

– x₁y₁

– dy₁²)^{2n + 1}

= (x₁² – dy₁²)^{2n + 1}

= (x₁² – dy₁²)²ⁿ(x₁² – dy₁²)

= (-1²) (-1)

= 1ⁿ (-1

= -1

Contoh:

Cari nilai yang memenuhi persamaan x² – 5y²= -1

Jawab:

Yang memenuhi x₁ = 2 dan y₁ = 1, sehingga:

x² – 5y²= -1

2² – 5.1² = -1

4 – 5 = -1

-1 = -1

Untuk x₂ dan y₂ adalah:

x + y

= (x₁ + y₁

)^{2n + 1}

= (2 + 1

)³

= (2 + 1

)² (2 + 1

)

= (4 + 4

+ 5) (2 + 1

)

= (9 + 4

) (2 + 1

)

= 18 + 9

+ 8

+ 20

= 38 + 17

x₂ = 38 dan y₂ = 17

x² – 5y²= -1

38² – 5 . 17² = -1

1444 – 5 . 289 = -1

1444 – 1445 = -1

-1 = -1 (terbukti)

3. Metode Pemfaktoran

Jika diberikan persamaan f(x₁, x₂, x₃,..., x_n) = 0 maka persamaan f(x₁, x₂, x₃,..., x_n) = 0 equivalent dengan f₁(x₁, x₂,..., x_n) f₂(x₁, x₂,..., x_n) f₃(x₁, x₂,..., x_n)... f_k(x₁, x₂,..., x_n) = a, dimana a, f₁, f₂, f₃,...,f_k

Z, dan apabila a memiliki faktorisasi prima yang dapat dinyatakan dengan a = a₁a₂...a_k, maka persamaan f(x₁, x₂, x₃,..., x_n) = 0 memenuhi sistem persamaan:

f(x₁, x₂,..., x_n) = a₁

f(x₁, x₂,..., x_n) = a₂

f(x₁, x₂,..., x_n) = a₃

f(x₁, x₂,..., x_n) = a_k

Untuk mengilustrasikan metode ini, akan diberikan beberapa contoh penggunaan metode pemfaktoran untuk menentukan solusi dari persamaan Diophantine non linier:

Contoh:

Tentukan semua solusi bilangan bulat dari persamaan

(x² + 1) (y² + 1) + 2(x – y) (1- xy) = 4 (1 + xy)

Penyelesaian:

((x² + 1) (y² + 1)) + 2(x - y) (1 - xy) = 4 (1 + xy)

x²y² + x²+ y² + 1 + 2(x - y)(1 - xy) = 4 + 4xy

(x²y² – 2xy + 1) + (x² – 2xy + y²) + 2(x – y) (1- xy) = 4

(xy – 1)² + (x – y)² - 2(x – y)( xy -1) = 4

((xy – 1)² - (x – y) ( xy -1)) + ((x – y)² - (x – y) ( xy -1)) = 4

(xy – 1) ( (xy – 1) - (x – y)) - (x – y) (( xy - 1) - (x – y)) = 4

(( xy -1) - (x – y))² = 4

( xy -1) - (x – y) =

(x + 1) ( y - 1) =

Untuk persamaan (x + 1) ( y - 1) = 2 = 2.1 = (-2)(-1) = 1.2 = (-1)2, diperoleh 4 sistem persamaan:

· x + 1 = 2

y – 1 = 1

· x + 1 = 1

y – 1 = 2

· x + 1 = -2

y – 1 = -1

· x + 1 = -1

y – 1 = -2

Solusi dari semua sistem persamaan di atas adalah (1,2), (0,3), (-3,0) dan (-2,-1). Untuk persamaan (x + 1) ( y - 1) = -2 = (-2)1 = 2(-1) = 1(-2) = (-1)(2), diperoleh 4 sistem persamaan:

· x + 1 = 2

y – 1 = -1

· x + 1 = 1

y – 1 = -2

· x + 1 = -2

y – 1 = 1

· x + 1 = -1

y – 1 = 2

Solusi dari semua persamaan di atas adalah (1, 0), (0, -1), (-3, 2) dan (-2, 3).

Jadi, contoh di atas memiliki 8 solusi bilanagn bulat yaitu (1, 2), (0, 3), (-3, 0), (-2, -1), (1, 0), (0, -1), (-3, 2) dan (-2, 3).

4. Ketaksamaan

Penggunaan metode ketaksamaan dalam menyelesaikan persamaan Diophantine non liniear sangat berkaitan erat dengan interval yang cocok dengan pertaksamaan itu sendiri. Pada umumnya penyelesaian masalah dengan menggunakan cara ini memberikan penyelesaian yang terbatas.

Contoh:

Tentukan pasangan bulat positif (x,y,z) yang memenuhi persamaan

Penyelesaian:

Dari persamaan

dapat diasumsikan 2

z. Jika

, dapat diperoleh x {2, 3, 4, 5}.

untuk x = 2 maka

® z =

® z = 10 +

jadi nilai y yang mungkin y

{11, 12, 14, 15, 20}. Sehingga diperoleh solusi bilangan bulat (2, 11, 110), (2, 12, 60), (2, 14, 35), (2, 15, 30) dan (2, 20, 20)

untuk x = 3 maka

® z =

karena maka nilai y yang mungkin y {4,5,6 }. Sehingga diperoleh solusi bilangan bulat (3, 4, 60), (3, 5, 15), dan (3, 6, 10).

untuk x = 4 maka

® z =

karenax

z maka nilai y yang mungkin y

{4}. Sehingga diperoleh solusi bilangan bulat (4, 4, 10).

untuk x = 5 maka

® z =

karenax

z maka nilai y yang mungkin y

{5}. Sehingga diperoleh solusi bilangan bulat (5, 5, 5).

5. Metode Parametrik

Dalam banyak situasi penggunaan metode parametrik sangat bermanfaat dalam menentukan solusi bulat persamaan Diophantine non linier, misalnya diberikan persamaan f(x₁, x₂, x₃,..., x_n) = 0 maka persamaan f(x₁, x₂, x₃,..., x_n) = 0 dapat direfresentasikan ke dalam bentuk persamaan parameter yaitu x₁ = g₁(k₁,...,k_m), x₂ = g₂(k₁,...,k_m),...,x_n = g_n(k₁,...,k_m) dimana k₁,...,k_m

Dalam banyak kasus metode parametrik memberikan solusi bulat yang tak hingga pada persamaan Diophantine.

Contoh:

Tunjukan bahwa terdapat tak hingga banyaknya bilangan tripel (x, y, z) yang memenuhi persamaan x³ + y³ + z³ = x² + y² + z²

Penyelesaian:

Misalnya z = -y ® x³ = x² + 2y². Ambil y = mx, m ∈Z maka x = (1 + 2m²). Jadi dapat diketahui persamaan x³ + y³ + z³ = x² + y² + z²memiliki tak hingga solusi bilangan bulat (x, y, z) dimana x = (1 + 2m²), y= m(1 + 2m²), dan z = -m(1 + 2m²) berbentuk parameter.

6. Metode Kongruensi

Dalam banyak situasi penggunaan modulo (kongruensi) banyak dilibatkan untuk persamaan Diophantine yang tidak dapat diselesaikankan. Lebih dari itu modulo dapat digunakan untuk menyederhanakan persamaan yang akan ditentukan solusinya.

Contoh:

Tunjukan bahwa persamaan (x+1)² + (x+2)² + … + (x+2013)² = y² tidak memiliki solusi bilangan bulat.

Penyelesaian:

Misalkan x = z – 1007 maka persamaan (x+1)² + (x+2)² + … + (x+2013)² = y²menjadi

(z - 1006)² + (z - 1005)² + … + z² + (z + 1)² + … + (z + 1006)² = y²

Dapat disederhanakan menjadi

2013z² + 2(1² + 2² + … + 1006²) = y²

2013z² + 2(1006.1 +

) = y²

2013z² + 1006(2 + 1005.3 + 1004.335.2) = y²

3(671)z²+ 1006(2 + 1005.3 + 1004.335.2) = y²

Diketahui bahwa jika m adalah bilangan kuadrat maka berlaku m

1 (mod 3) atau m

1 (mod 3) sedangkan diperoleh 671

2 (mod 3) jadi persamaan tersebut tidak

dapat membentuk kuadrat sempurna.

7. Metode Induksi Matematika

Metode induksi matematika adalah suatu metode yang digunakan untuk membuktikan kebenaran suatu pernyataan yang diberikan. Biasanya pernyataan yang dapat dibuktikan kebenarannya dengan menggunakan metode induksi matematika adalah dalam bentuk persamaan atau pertidaksamaan. Namun pada bagian ini hanya dibahas yang berkaitan dengan persamaan Diophantine. Prinsip metode induksi matematika:

Misalkan N adalah bilangan asli, n

N, dan p(n) adalah suatu pernyataan. Untuk membuktikan pernyataan tersebut hanya perlu menunjukkan bahwa:

1) p(1) benar, dan

2) Andaikan n